O le faaupuga o le vaalele: pe faapefea ona faia? Ituaiga faamatalaga e vaalele

Le vaalele avanoa e mafai ona faamatalaina i ni auala eseese (tasi togi ma vector, o le vector ma le vaega e lua, e tolu vaega, ma isi). E le o ma lenei i le mafaufau, e mafai ona maua le faamatalaga vaalele ituaiga eseese. Foi i lalo o tuutuuga faapitoa vaalele e mafai ona tutusa, perpendicular, fetaulaigaala, ma isi I lenei ma o le a talanoa i lenei mataupu. O le a tatou aoao e faia le faamatalaga lautele o le vaalele ma e le gata.

O le pepa masani o le faamatalaga

Faapea o R le va _3, lea e faamaopoopo a faatafafā lē tutusa faiga XYZ. Tatou faamatalaina se vector α, lea o le a tatalaina mai le amataga O. ala mai i le faaiuga o le vector α faalatalata vaalele P o perpendicular i ai.

Faailoaina P i se Q manatu soʻona faia = (x, y, z). Le faataamilosaga vector o le p tusi faailoga Q manatu. O le umi o le vector tutusa α p = IαI ma Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Lenei iunite vector, lea ua faatonuina i le itu e pei vector α. α, β ma γ - o angles o loo faia i le va o le vector ma le faatonuga lelei Ʋ axes avanoa x, y, z faasologa. O le fuafuaga o se nofoaga i luga o vector QεP Ʋ o le a faifai pea lea e tutusa ma le p (p, Ʋ) = p (r≥0).

anoa le faamatalaga i luga pe a p = 0. Le vaalele na n i le tulaga lenei, o le a sopoia tulaga Le (α = 0), o le tupuaga, ma le iunite vector Ʋ, faamalolo mai le tulaga Le a perpendicular e P, e ui lava ona le taitaiga, o lona uiga fuafuaina e faapea o le Ʋ vector e oo atu i le faailoga. faaupuga Talu ai o lo tatou vaalele P, na faaalia i se faiga vector. Ae i le vaaiga o ona fuafua o le:

e sili P nai lo pe tutusa ma le 0. Ua ma maua le faaupuga vaalele i se faiga e masani ai.

Le faamatalaga lautele

Afai o le faamatalaga i le fuafua fanafanau e so o se aofaiga e le tutusa ma o, tatou te maua ai le faamatalaga e tutusa ma lenei e faamatalaina ai le vaalele tele. O le a maua le pepa nei:

Iinei, A, B, C - o le aofaiga o le taimi e tasi e ese mai o. E taʻua lenei faaupuga le faamatalaga o le pepa lautele o le vaalele.

I faamatalaga o le vaalele. tulaga faapitoa

e mafai ona e masani ona toe faʻaleleia atili le faamatalaga ma aiaiga faaopoopo. Mafaufau i nisi o latou.

Manatu e faapea o le coefficient A o 0. O lenei ua faailoa mai ai le tutusa vaalele i le povi au fuafuaina. I lenei tulaga, e suia ai le tulaga o le faamatalaga: Wu + Cz + D = 0.

E faapena foi, o le tulaga o le faaupuga ma o le a eseese lava ma le tulaga nei:

• Muamua, pe afai B = 0, o le suiga faaupuga e matau + Cz + D = 0, lea o le a faailoa mai e le tutusa i le Oy au.
• O lona lua, pe afai C = 0, ua liua le faamatalaga i toʻi + O le + D = 0, o le fai atu e uiga tutusa i le fuafuaina au Oz.
• Lona tolu, afai D = 0, o le a afio mai le faaupuga o le matau + O le + Cz = 0, lea o le a faapea intersects le vaalele Le (le amataga).
• Fa, pe afai A = B = 0, o le suiga faaupuga e Cz + D = 0, lea o le a faamaonia e paralela Oxy.
• Lima, pe afai B = F = 0, o le faaupuga avea matau + D = 0, o lona uiga e faapea o le vaalele e tutusa i Oyz.
• Sixthly, pe afai A = F = 0, e manaomia ai le faamatalaga o le pepa faatumu Wu + D = 0, i.e., o le a lipoti atu i le Oxz paralela.

Pepa o le faamatalaga i le vaega

I le tulaga o fuainumera A, B, C, eseese D mai o, o le ituaiga o faaupuga (0) E mafai ona avea e faapea:

x / a + y / b + z / c = 1,

lea a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Tatou te maua ao se faaupuga taunuuga o le vaalele i le vaega. E tatau ona maitauina o le a faalavelave i lenei vaalele le x-au i le taimi ma fuafua (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), ma Oz - (0,0, s).

Ona o le faaupuga x / a + y / b + z / c = 1, e le faigata ona vaai faalemafaufau i le aiga vaalele aoga i se fuafuaina faamaopoopo faiga.

O le fuafua o le vector masani

O le n vector masani i le vaalele P ua fuafua e le coefficients o le faamatalaga lautele o le vaalele, i.e. n (A, B, C).

Ina ia iloa ai le fuafua o le n masani, o ia lava e iloa le faaupuga lautele tuuina vaalele.

Pe a faaaogaina le faamatalaga i vaega, lea ei ai o le pepa faatumu x / a + y / b + z / c = 1, pei o le taimi e faaaoga ai e le mafai ona tusia faaupuga lautele fuafua i so o se vector masani a vaalele tuuina atu: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

E tatau ona matauina e le vector masani o le fesoasoani e foia faafitauli eseese. O le faafitauli sili ona taatele o loo aofia ai i faamaoniga vaalele perpendicular po o le tutusa, o le galuega o le sailia o le angles le va o le vaalele po o le angles le va o le vaalele ma laina saʻo.

Taina e tusa ai ma le vaalele faaupuga ma fuafua o le tulaga vector masani

A nonzero vector n, perpendicular i se vaalele ua tuuina mai, valaau masani (e masani ai) i se vaalele fuafuaina.

Faapea i le faamaopoopo avanoa (faamaopoopo faiga a faatafafā lē tutusa) Oxyz faatulagaina:

• Mₒ manatu ma fuafua (hₒ, uₒ, zₒ);
• o vector n = A * i + B * j + C * k.

E tatau ona e faia faaupuga o le vaalele lea e pasia le tulaga Mₒ perpendicular i le n masani.

I le avanoa tatou te filifili so o se nofoaga soʻona faia ma ia faamatala M (x, y, z). Tuu atu i le faataamilosaga vector taitasi M manatu (x, y, z) o le a avea r = x * i + y * j + z * k, ma le faataamilosaga vector o se Mₒ manatu (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. le a auai le manatu M i se vaalele e tuuina mai, afai e le MₒM vector perpendicular i le vector n. Tatou tusi le tulaga o orthogonality le faaaogaina o oloa scalar:

[MₒM, n] = 0.

Talu MₒM = r-rₒ, o le vector faaupuga o le vaalele a vaai e pei o lenei:

[R - rₒ, n] = 0.

mafai foi lenei faaupuga se isi foliga. Mo lenei faamoemoe, o le meatotino a le oloa scalar, ma liliu mai le itu tauagavale o le faamatalaga. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Afai [rₒ, n] denoted pei s, tatou te maua ai le faamatalaga lenei: [r, n] - a = 0 po o [r, n] = s, lea e faaalia ai le faamaoni o le fuafuaga i le vector masani o le faataamilosaga-vectors o manatu tuuina mai e auai vaalele.

O lenei e mafai ona e maua le faamaopoopo vaalele pueina ituaiga tatou faaupuga vector [r - rₒ, n] = 0. Talu r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, ma n = A * i + B * j + C * k, ua tatou maua:

E liliu atu o tatou maua ua faia vaalele le tufaina o le faaupuga e ala i le tulaga perpendicular i le n masani:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Taina e tusa ai ma le vaalele faaupuga ma fuafua e lua vaega o le collinear vaalele vector

Tatou te faauiga lua manatu soʻona faia M '(x', y ', z') ma M "(x", y ", z"), faapea foi ma le vector (a ', o se ", o se ‴).

O lenei e mafai ona tatou tusi faaupuga fuafuaina vaalele lea ua pasia e ala i le M tulaga oi ai nei 'ma M ", ma le tasi vaega i le fuafua M (x, y, z) tutusa i se vector tuuina mai.

Lea M'M vectors x = {x ', y-y'; zz '} ma M "M = {x" -x', y 'y'; z "-z '} tatau ona coplanar ma le vector a = (a ', o se ", o se ‴), o lona uiga (M'M M" M, a) = 0.

Lea tatou faaupuga o se vaalele i le va o le a vaai e pei o lenei:

Ituaiga o vaalele faaupuga, sopoia vaega e tolu

Sei o tatou fai atu ua tatou maua vaega se tolu: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ Ia ‴, z ‴), e le auai i le laina e tasi. E tatau ona tusi ai faaupuga o le vaalele ui atu i le vaega e tolu ua faamaotiina. finau teori geometry o loo i ai lenei ituaiga o vaalele, e le na o le tasi ma e na. Talu intersects lenei vaalele i le tulaga (x ', y', z '), o le a lona tulaga faaupuga:

Iinei, A, B, ma le C o ese mai o i le taimi e tasi. Tuuina atu foi ia vaalele intersects vaega e sili e lua (x ", y", z ") ma le (x ‴, y ‴, z ‴). I totonu o lenei sootaga e tatau ona faia i lenei ituaiga o tulaga:

O lenei e mafai ona tatou faia se faiga toniga o faamatalaga e (linear) ma unknowns u, v, w:

I o tatou tulaga x, y po z tu manatu soʻona faia lea faamalieina faaupuga (1). Mafaufau faaupuga (1) ma se faiga o faamatalaga e (2) ma le (3) o le faiga o faamatalaga e faailoa mai i le ata i luga, o le vector faamalieina N (A, B, C) o nontrivial. O ona o o le iloiloina o le faiga.

Faaupuga (1) ua tatou maua, o le faaupuga lenei o le vaalele. 3 taimi sa alu moni lava, ma e faigofie e siaki. Ina ia faia lenei mea, tatou faalautele ai le iloiloina e le elemene i le laina muamua. O le meatotino o lo oi ai e iloiloina faapea o le taimi lava e tasi intersects tatou vaalele i le tulaga tolu uluai fuafuaina (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Ina ia tatou filifili ai e galuega i luma o tatou.

tulimanu Dihedral le va o le vaalele

tulimanu Dihedral o se foliga geometric spatial faia e toalua afa-vaalele lena e suluia mai se laina saʻo. I se isi faaupuga, o se vaega o le va lea ua faatapulaaina i le afa o le vaalele.

Faapea tatou vaalele e lua i le faamatalaga e faapea:

Tatou iloa o le vector N = (A, B, C) ma N¹ = (A¹, H¹, S¹) e tusa ai ma fuafuaina vaalele e perpendicular. I lenei tulaga, o le tulimanu φ va vectors N ma N¹ tulimanu tutusa (dihedral), lea o loo tu i le va o nei vaalele. ua tuuina mai e le oloa scalar:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

tonu lava ona

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Ua lava lea e iloilo lena 0≤φ≤π.

O le mea moni e lua vaalele e sopoʻia, faiga tulimanu e lua (dihedral): φ ₁ ma φ _2. Latou aofaiga e tutusa ma π (φ ₁ + φ ₂ = π). A o latou cosines, e tutusa o latou tulaga faatauaina atoatoa, peitai e eseese a latou faailoga, o lona uiga, cos φ ₁ = -cos φ _2. Afai i le faamatalaga (0) ua suia e ala i le A, B ma le C o -O, -B ma -C faasologa, o le faaupuga, tatou te maua, o le a fuafua ai le vaalele lava lea e tasi, o le laau na φ i faaupuga cos φ = nn ¹ / | N || N ¹ | o le a suia ai e π-φ.

O le faaupuga o le vaalele perpendicular

Valaauina perpendicular vaalele, i le va lea o le laau o le 90 tikeri. Le faaaogaina o le mea ua tuuina i luga, e mafai ona tatou maua ai le faaupuga o se vaalele perpendicular i le isi. Manatu ea tatou vaalele lua: matau + O le + Cz + D = 0, ma + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. E mafai ona tatou fai atu oi latou o orthogonal afai cos = 0. O lona uiga e NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

O le faaupuga o se vaalele tutusa

O lo o taua i le lua vaalele tutusa ia ua i ai se manatu e tutusa ai.

O le tulaga o le vaalele tutusa (o le tutusa o latou faamatalaga e pei o le parakalafa talu ai) e faapea o le vectors N ma N¹, o perpendicular ia i latou, collinear. O lona uiga e faapea o le tulaga nei e feiloai proportionality:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Afai o le a faalauteleina le tuutuuga fuafuaina - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

lenei ua faailoa mai ai le vaalele faamatalaga o le tasi. O lona uiga o faaupuga matau + O le + Cz + D = 0 ma + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 faamatala ai le vaalele.

O le mamao mai le vaega e vaalele

Manatu ia i tatou se vaalele P, lea ua tuuina mai e (0). E tatau ona maua ai le mamao mai le vaega ma fuafua (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , E tatau ona e aumaia le faamatalaga i totonu o le vaalele II foliga masani e fai ai:

(Ρ, v) = p (r≥0).

I lenei tulaga, ρ (x, y, z) o le faataamilosaga vector o lo tatou tulaga Q, o loo i n p - n o le umi o le perpendicular, lea na tatalaina i tua mai le taimi o, v - o le vector iunite, lea o loo faatulagaina i le taitaiga a.

O le eseesega ρ-ρº vector faataamilosaga o se tulaga Q = (x, y, z), auai i n ma le faataamilosaga vector o se taimi na tuuina mai Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) O se vector, le taua atoatoa o le fuafuaga lea i v tutusa le d mamao, lea e talafeagai e maua mai Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) ia P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, ae

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

O lea e liliu mai,

d = | (ρ ^0, v) p |.

O lenei ua manino ai e fuafua le d mamao mai ₀ i Q vaalele P, e talafeagai ona faaaoga faaupuga vaalele vaaiga masani, o le suiga i le itu tauagavale o le p, ma le mea mulimuli o x, y, z suia (hₒ, uₒ, zₒ).

O lea la, tatou te maua ai le taua atoatoa o le faaupuga e mafua ua d manaomia.

Le faaaogaina o le faataamilosaga o le gagana, tatou te maua le manino:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Afai o le faamaoti tulaga Q ₀ loo i le isi itu o le vaalele P e pei o le amataga, o le va o le vector ρ-ρ ⁰ ma v o se tulimanu obtuse, e faapea:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

I le tulaga pe afai o le tulaga Q ₀ i le galulue faatasi ai ma le amataga o loo i le itu lava e tasi o le U, ua foafoaina le tulimanu matuitui, e faapea:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

O le taunuuga e faapea i le tulaga sa i ai muamua (ρ ^0, v)> p, i le lona lua (ρ ^0, v)

Ma ona faaupuga vaalele tangent

E uiga i le vaalele i le pito i luga i le tulaga o le tangency Mº - o se vaalele o lo o aofia uma tangent mafai i le piʻoga tosina ala mai i lena taimi i luga.

Faatasi ai ma lenei ituaiga o le faamatalaga luga F (x, y, z) = 0 i le faamatalaga o le Mº tulaga tangent vaalele tangent (hº, uº, zº) o le a:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Afai ua faataatia manino z le laualuga = f (x, y), lea o le tangent vaalele o loo faamatalaina e ala i le faaupuga:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

O le fetaulaiga ala o le vaalele e lua

I le avanoa e faatafa-tolu o se faamaopoopo faiga (faatafafā lē tutusa) Oxyz, na tuuina mai e lua vaalele P 'ma P' e fesiliaʻi ma te le feagai. Talu ai o so o se vaalele, lea ua i se faatafafā lē tutusa faamaopoopo faiga ona faamatalaina i le faaupuga aoao, tatou te manatu o le n 'ma n "Ua faamanino mai i le faamatalaga e A'x + Vʻu S'z + + D' = 0 ma A" + B x '+ y i le "z + D" = 0. I lenei tulaga ua tatou maua n masani '(A', B ', C') o le vaalele P 'ma le n masani "(A", B ", C") o le vaalele P'. A o vaalele e le o tutusa ma te le feagai, e le collinear lea nei vectors. O le faaaogaina o le gagana o le matematika, ua tatou maua e mafai ona tusia lenei tulaga pei o le: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * Ma", λ * I ", λ * F"), λεR. Ia tuu atu le laina saʻo lea o loo taoto i le P fetaulaiga ala 'ma P ", o le a denoted e le tusi a, i le tulaga lenei a = P' ∩ P".

ma - se laina e aofia ai se plurality o manatu (masani) vaalele P 'ma P ". O lona uiga e faapea o le fuafua o so o se tulaga e patino i le laina, ao le taimi e tasi faamalieina le faamatalaga A'x + Vʻu S'z + + D '= 0 ma A "x + B' + F y" z + D "= 0. O lona uiga e faapea o le fuafua o le a manatu se fofo faapitoa o le faamatalaga e faapea:

O le taunuuga e faapea o le fofo (atoa) o lenei faiga o faamatalaga e a fuafua ai le fuafua o manatu taitasi i luga o le laina lea o le a galue e avea ma tulaga o le fetaulaiga ala P 'ma P ", ma fuafua se laina i se faamaopoopo faiga Oxyz (faatafafā lē tutusa) avanoa.